Задача 3-1.Р * В каком из приведенных выражений для цепи рис. 3.1 допущена ошибка, если u_a = sin ωt?

1. u_B = U_m sin (ωt - 120°)       2. u_C = U_m sin (ωt - 240°).

3. u_AB = U_m sin (ωt + 30°)     3. u_BC = U_m sin (ωt + ??°) 

5. u_CA = U_m sin (ωt + ??°)

Решение 3.1

Фазные напряжения сдвинуты по фазе на  120°.

Если напряжение фазы А изменяется по закону u_A = U_m sin(ωt) , то u_B = U_m sin(ωt - 120⁰)  и u_C = U_m sin(ωt -240⁰).

Связь между фазны­ми и линейными напряжениями может быть установлена с помощью уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для цепи рис. 3.1:

0 = Ū_AB + Ū_B - Ū_A ; 

0 = Ū_BC + Ū_C - Ū_B ; 0 = Ū_CA + Ū_A - Ū_C .

Из этих уравнений следует Ū_AB = Ū_A - Ū_B ; Ū_BС =  Ū_B - Ū_С ; Ū_СА = Ū_С - Ū_А .

Построив векторы фазных напряжений (рис. 13.3.1), с помощью последних уравнений нетрудно построить векторы линейных напряже­ний. На основании векторной диаграммы легко получить выражения для мгновенных значений линейных напряжений:

Линейные напряжения, так же как и фазные, сдвинуты между со­бой по фазе на 120°.

Задача 3-2.Р. В каком из приведенных выражений для цепи риc. 3.1 до­пущена ошибка, если комплексное напряжение Ů_A записано в виде Ů_A = U_Ae ^j0 ?

1.      Ů_B = U_Be ^-j120    2. Ů_C = U_Ce ^-j240       3. Ů_AB = U_ABe ^-j30        4. Ů_BC = U_BCe ^-j90          5. Ů_CA = U_CAe ^-j210

Решение 3-2

Для решения задачи необходимо изобразить век­торную диаграмму фазных и линейных напряжений, как это было сде­лано в задаче 3-1; затем следует сориентировать относительно векторов комплексную плоскость так, чтобы ось действительных значений совпа­дала с вектором фазного напряжения Ů_A , как это требуется по усло­вию задачи (рис. 13.3.2.). На основании рис. 13.3.2 можно записать комплексы фазных и линейных напряжений:

Задача 3-10.Р. Каждая фаза приемника энергии цепи рис. 3.10 содержит лампы накаливания, имеющие одинаковые номинальные мощности и  напряжения. Определить напряжения U_A и U_B, когда отключен вы­ключатель и оборван нейтральный провод. Считать, что сопротивления ламп не зависят от тока. Указать правильный ответ.

1. U_A=U_B =190 В.        2. U_A  =285 В; U_B = 95 В.             3. U_A =U_B=220 В.             4. U_A=95 В; U_B =285 В.

Решениe 3-10

При отключенной фазе С и оборванном нулевом проводе фазы А и В оказываются соединенными последовательно и подключенными на линейное напряжение. Ток потребителей равен: I_A = I_B = U/( r_Л/3 + r_Л ) = 3U/4r_Л где r_Л - сопротивление одной лампы. 

У потребителя А: U_A = I_A r_A = 3U*r_Л /12r_Л = U/4 = 380/4 = 95 B,

у потребителя В: U_В = I_В r_В = 3U*r_Л /4r_Л = 3*U/4 = 3*380/4 = 285 B.

Лампа фазы В будет гореть с перекалом и быстро выйдет из строя. Лампы фазы А будут гореть с недокалом.

Задача 3-25.P. Определить показания вольтметра в цепи рис. 3.25. Указать правильный ответ.

1. 220 В.      2. 110 В.      3. 330 В.       4. 190 В.       5. 127 В.

Решение 3-25

Искомое напряжение U₁₂ определяется с помощью уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа, и векторной ди­аграммы, приведенной на рис. 13.3.25.

По второму закону Кирхгофа Ū₁₂ = Ū_AB - Ū_BC/2 .

Из векторной диаграммы, построенной по этому уравнению, следу­ет, что

U₁₂ = U_AB cos 30° =  190 В.

Рис. 13.3.25

Задача 3-34. Активная мощность приемника энергии цепи рис. 3.34 Р = 4950 Вт, напряжение сети U = 380 В,  I_A =10 А, I_B =5 А, коэффици­ент мощности фазы А соs(φ_A) = 1, фазы Вcos(φ_B) = 0,5, фазы C cos(φ_C) = 0,5. Определить ток I_C , сопротивления r_C и x_L , а также реактивные мощности фаз В и С. Указать неправильный ответ.

1. I_C = 20 А. 2. r_C = 5,5 Ом. 3. x_L= 9,5 Ом. 4. Q_B=750 вар. 5. Q_C =3800 вар.

Решение 3-34

Активные мощности:

фазы A    P_А  = U_AI_A cos(φ_A)=220*10*l=2200 Вт;

фазы В    Р_B = U_BI_B cos(φ_B) = 220*5*0,5 = 550 Вт;

фазы С    P_C = P - P_А - P_B  = 4950— 2200— 550 = 2200 Вт.

Из   выражения   для   P_C = U_CI_C cos(φ_C)  следует I_C=P_C /U_C cos(φ_C) = 2200/220*0,5=20 А.

Реактивные мощности:

фазы A Q_A = 0;

фазы В Q_B = U_B I_B sin φ_B = 220*5 * √3/2 =950 вар;

фазы С Q_C = U_C I_C sin φ_C = 220*20 * √3/2 =3800 вар.

Из выражения Q_C = I²_C x_L , следует x_L = Q_C / I²_C = 3800/20² = 9,5 Ом.

Из выражения P_c = I²_C r_C следует r_С = Р_С/ I²_C =220/20²=5,5 Ом.

Задача 3-41. Установка трехфазного тока  (рис. 3.41) состоит из приемников энергии б и в и конденсаторной батареи а, служащей для улучшения коэффициента мощности установки. Приемники б и в имеют симметричную нагрузку каждой фазы индуктивного характера. Мощности приемников Р_б=173 кВт, Р_в = 110 кВт, коэффициенты мощности cosφ_б= =0,8,cosφ_в=0,7. Определить емкость конденсаторов одной фазы конденсаторной батареи, при которой cosφ установки будет равен единице, f = 50 Гц, U=380 В. Указать правильный ответ.

1. 48,5 мкФ.      2. 66 мкФ.         3. 1800 мкФ.           4. 1980 мкФ.

Решение 3-41

Полные мощности потребителей : S_А = P_А/cos φ_А= 173/0, 8 = 216 кВ·А; S_В= Р_В /cos φ_В = 110/0,7= 157 кВ·А.    

Реактивные мощности потребителей

Реактивная (емкостная) мощность конденсаторной батареи должна быть равной реактивной (индуктивной)  мощности потребителей:

Q_C = Q_L = Q_A + Q_B = 133 + 112 = 245 квар.

Емкостное (сопротивление фазы конденсаторной батареи определим

из формулы : Q_C/3 =(U/x_C)² x_C = U²/x_C  ; x_C=3U²/Q_C = 3*380²/245*10³ = 1.77 Ом.

Емкость конденсаторов одной фазы конденсаторной батареи: x_C =1/2πfC; С = 1/х_Cπf*   10^-6= 1*10⁶/(1.77*2*3.14*50) = 1800 мкФ.

Задача 3-42.Р. Электрическая цепь рис. 3.42 имеет следующие параметры: Z_AB = 4+j3 Ом, Zвс = 8+j6 Oм, Z_CA = 10 Ом. Напряжение сети U=380 В. Определить показания ваттметров W₁,W₂ и активную мощность цепи.

Указать правильный ответ.

1.W₁=30500 Вт, W₂=18500 Вт, Р=49000 Вт.

2. W₁=18500 Вт, W₂=30500  Вт, Р=49000 Вт.

3. W₁=30500 Вт, W₂=18500 Вт, Р=12000 Вт.

Решение  3-42

1. Фазные токи и их фазы относительно напряжений

2. Линейные токи определяются по первому закону Кирхгофа с помощью векторной диаграммы (рис. 13.3.42):

Ī_А = Ī_AB - Ī_CA ; I_A = 114 A,

Ī_B = Ī_BC - Ī_AB ; I_B = 100 A,

Ī_C = Ī_CA - Ī_BC ; I_C = 114 A,

3. Показания ваттметров : P₁ = U_ABI_A cos(Ū_AB, I_A) = 380*114*cos 45^o= 30500 Вт, P₂ = U_BСI_С cos(-Ū_BС, I_С) = 380*50*cos 12^o = 18500 Вт,

4. Активная мощность цепи P = P₁ + P₂ = 30 500 + 18 500 = 49 000 Вт.

Правильность решения может быть выявлена путем определения активной мощности каждой фазы приемника:

P = I²_AB r_AB + I²_BC r_BC + I²_CA r_CA = 76²*4 + 38²*8 +38²*10 =49000  Вт.

Задача 3-43.Р. Выбрать сечения проводов для питания трехфазных асинхронных двигателей (рис. 3.43), паспортные данные и расстояние от распределительного пункта до каждого из которых приведены в табл. 3.43. Допустимые токи проводов указаны в табл. 3.43а. Допустимая потеря напряжения не должна превышать 4 % номинального. Указать неправильный ответ.

1. 2,5 мм².        2. 10 мм².         3. 25 мм².        4. 50 мм².

Решение 3-43

Расчетные токи проводов

I_P = I_H = P_H /η_H cos φ_H √3 U_H

I_P1 = I_H1 = 10*1000/0.85*0.82*1.73*380 = 21.8 A;

I_P2 = I_H2 = 22*1000/0.875*0.79*1.73*380 = 48.4 A;

I_P3 = I_H3 = 40*1000/0.89*0.85*1.73*380 = 80.5 A;

I_P4 = I_H4 = 75*1000/0.905*0.86*1.73*380 = 145 A;

Сечение проводов по нагреву выбирается из условия I_P ≤ I_Д .

Согласно табл. 3.43а сечения проводов составят S₁ = 25 мм²; S₂=  10 мм²; S₃ = 25 мм²;S₄=,50 мм².

Проверка проводов по допустимой потере напряжения. Потеря на­пряжения в проводах на одну фазу

ΔU_Ф =  U_Ф - U'_Ф = I_P(r cos(φ_H) + x sin(φ_H) )                      (1)

где U_Ф — напряжение  в  начале линии,  В; U'_Ф —напряжение на потре­бителе (в конце линии), В; r — активное сопротивление, Ом; х — индук­тивное сопротивление проводом, Ом;φ_H — угол сдвига по фазе между током и напряжением приемника.

Активное сопротивление проводов r = l /γS.

Индуктивное сопротивление проводов х сети низкого напряжения составляет около 0,3 Ом на километр. Вследствие малой длины прово­дов и малого значения sin φ_H вторым членом в (1) можно пренебречь, тогда: ΔU_Ф = I_Pr cos(φ_H).

Сопротивления проводов для двигателей равны соответственно

r₁ = l₁ /γS₁ = 40/57*2.5 =0.28 Ом;

r₂ = l₂ /γS₂ = 160/57*10 =0.28 Ом;

r₃ = l₃ /γS₃ = 80/57*25 =0.056 Ом;

r₄ = l₄ /γS₄ = 120/57*50 =0.042 Ом.

Потери напряжений в проводах к двигателям равны

ΔU_Ф1 =(I_P1*r₁*cos(φ_H1)*100 )/220 = 21.8*0.28*0.82*100/220 = 2.27% ;

ΔU_Ф2 =(I_P2*r₂*cos(φ_H2)*100 )/220 = 48.4*0.28*0.79*100/220 = 4.85% ;

        ΔU_Ф3 =(I_P3*r₃*cos(φ_H3)*100 )/220 = 80.5*0.056*0.85*100/220 = 1.73% ;

ΔU_Ф4 =(I_P4*r₄*cos(φ_H4)*100 )/220 = 145*0.042*0.86*100/220 = 2.37% ;

Сечения проводов для двигателей 1, 3 и 4, выбранные по допусти­мому току, удовлетворяют и условию допустимой потери напряжения в проводах, так как

ΔU_Ф1 , ΔU_Ф3 , ΔU_Ф4 < ΔU_ФД

Провода для двигателя 2, выбранные по допустимому току, не проходят по допустимой потере напряжения, так как ΔU_Ф2 > ΔU_ФД

Необходимо выбрать провода ближайшего большого сечения. В данном случае выберем провода сечением 16 мм² и проверим их на допустимую потерю напряжения:

r₂ = l₂ /γS₂ = 160/57*16 =0.176 Ом; ΔU_Ф2 =( 48.4*0.176*0.79*100/220 = 3,06%

Потеря напряжения меньше допустимой.  Следовательно, сечение проводов для двигателя 2, равное 16 мм², приемлемо.