В 1984 окончил Горьковский государственный университет им. Н.И. Лобачевского. В 1993 г. защитил кандидатскую диссертацию «Динамика крупномасштабного гравитационного поля вблизи особой точки в классической и квантовой космологии» (Научно-исследовательский центр по изучению свойств поверхности и вакуума, г. Москва).

  В 2006 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Неоднородные модели ранней Вселенной» (Ульяновский государственный университет).С 1984 по 1987 г. работал научным сотрудником в Научно-исследовательском радиофизическом институте Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского и с 1987 по 2007 г. в Научно-исследовательском институте прикладной математики и кибернетики (Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского).

  С 1995 по 2007 г. являлся регулярным членом группы I.C.R.A. (InternationalCenterforRelativisticAstrophysics, Roma, President - R. Ruffini); с 2007 по 2009 г. профессор Ульяновского государственного университета, с 2009 по 2016 г. профессор Университета «Дубна» (кафедра теоретической физики), с 2016 г. профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана (кафедры «Физика»).

 А.А. Кириллов — специалист в области общей теории относительности, квантовой гравитации, астрофизики.

  В 1987 г. А.А. Кириллов впервые (совместно с А.А. Кочневым) обнаружил эффект генерации неоднородностей все более малого масштаба в общем решении уравнений Эйнштейна вблизи космологической особенности. Дал полное статистическое описание неоднородностей метрики (1993) и предложил моделирование классической и квантовой динамики метрики в терминах бильярдов.

  В 1995 г. впервые совместно с Дж. Монтани (I.C.R.A.) дал строгое описание процесса генерации классического фонового пространства в неоднородных квантовых моделях ранней Вселенной.

  В области астрофизики совместно с Д. Тураевым (2006) дал теоретическое объяснение наблюдаемой универсальности кривых вращения галактик. Предложил объяснение эмпирического закона Талли-Фишера (для спиральных галактик) и Фаберсона-Джексона (для эллиптических галактик).  

  Совместно с Е.П. Савеловой, впервые показал, что все наблюдаемые эффекты темной материи могут быть моделированы распределением кротовых нор в пространстве (2007, 2011).

  В 2015 г. совместно с  Е.П. Савеловой впервые обнаружил, что учет виртуальных кротовых нор приводит к полному устранению расходимостей в квантовой теории поля.