Перейти к списку | Аннотация | Содержание

Введение в анализАннотация

Книга является первым выпуском учебного комплекса «Математика в техническом университете» состоящего из двадцати выпусков. Знакомит читателя с понятиями функции, предела, непрерывности, которые являются основополагающими в математическом анализе и необходимыми на начальном этапе подготовки студента технического университета.

Отражена тесная связь классического математического анализа с разделами современной математики (прежде всего, с теорией множеств и непрерывных отображений в метрических пространствах).

Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.

Содержание

К читателю
Предисловие
Краткий исторический очерк
 
1.  Элементы теории множеств
  1.1.  Множества
  1.2.  Подмножества
  1.3.  Множество действительных чисел. Числовая прямая
  1.4.  Операции над множествами
  1.5.  Некоторые основные логические символы
  1.6.  Круги Эйлера
  Вопросы и задачи
 
2.  Отображение множеств. Функции
  2.1.  Понятия отображения и функции
  2.2.  Сюръекция, инъекция и биекция
  2.3.  Обратное отображение
  2.4.  Композиция отображений
  2.5.  Произведение множеств. График отображения
  2.6.  Упорядоченные множества. Элементы комбинаторики
  2.7.  Ограниченные множества
  Д.2.1.  Мощность множества
  Д.2.2.  Неподвижная точка отображения
  Вопросы и задачи
 
3.  Действительные функции действительного переменного
  3.1.  Функция и ее график
  3.2.  Основные способы задания функции
  3.3.  Сложная и взаимно обратные функции
  3.4.  Некоторые свойства функций
  3.5.  Основные элементарные функции
  3.6.  Некоторые элементарные функции
  Вопросы и задачи
 
4.  Основные законы композиции и алгебраические структуры
  4.1.  Законы композиции
  4.2.  Основные алгебраические структуры
  4.3.  Поле комплексных чисел
  4.4.  Кольцо многочленов
  4.5.  Группа подстановок
  Вопросы и задачи
 
5.  Непрерывные отображения метрических пространств
  5.1.  Понятие метрического пространства
  5.2.  Окрестности в метрическом пространстве
  5.3.  Характерные точки множеств
  5.4.  Замкнутые множества
  5.5.  Компактные множества
  5.6.  Определение непрерывного отображения
  5.7.  Свойства непрерывного отображения множеств
  5.8.  Линейно связные множества
  5.9.  Равномерная непрерывность
  Вопросы и задачи
 
6.  Числовые последовательности
  6.1.  Переменные величины
  6.2.  Понятие числовой последовательности
  6.3.  Предел последовательности
  6.4.  Свойства сходящихся последовательностей
  6.5.  Признаки существования предела последовательности
  6.6.  Число e
  6.7.  Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
  Д.6.1.  Предельные точки последовательности
  Д.6.2.  Доказательство признака Вейерштрасса и критерия Коши
  Вопросы и задачи
 
7.  Предел функции в точке
  7.1.  Определение предела функции
  7.2.  Односторонние пределы
  7.3.  Признаки существования предела
  7.4.  Свойства функций, имеющих конечный предел
  7.5.  Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  7.6.  Предел сложной функции
  7.7.  Два замечательных предела
  7.8.  Экспонента, натуральные логарифмы и гиперболические функции
  Вопросы и задачи
 
8.  Теория пределов
  8.1.  Понятие предела отображения
  8.2.  Некоторые свойства предела отображения
  8.3.  Пределы действительных функций
  8.4.  Признаки существования предела действительной функции
  Д.8.1.  Полное метрическое пространство
  Д.8.2.  Принцип сжимающих отображений
  Вопросы и задачи
 
9.  Непрерывные функции
  9.1.  Непрерывность функции в точке
  9.2.  Свойства функций, непрерывных в точке
  9.3.  Односторонняя непрерывность. Точки разрыва
  9.4.  Свойства функций, непрерывных в промежутке
  9.5.  Непрерывность основных элементарных функций
  9.6.  О вычислении нуля функции, непрерывной на отрезке
  Д.9.1.  Непрерывность и разрывы монотонной функции
  Д.9.2.  Доказательство теорем о функциях, непрерывных в промежутке
  Вопросы и задачи
 
10. Асимптотическое поведение
  10.1.  Сравнение бесконечно малых функций
  10.2.  Эквивалентные бесконечно малые функции
  10.3.  Главная часть бесконечно малой функции
  10.4.  Сравнение бесконечно больших функций
  10.5.  Наклонная асимптота графика функции
  10.6.  Общие рекомендации по вычислению пределов
  Д.10.1.  Асимптотические многочлены
  Д.10.2.  Об использовании символов O и o
  Вопросы и задачи
 
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель

 

Перейти к списку | Аннотация | Содержание

Дифференциальное исчисление функций одного переменногоАннотация

Книга является вторым выпуском комплекса учебников «Математика в техническом университете». Знакомит читателя с понятиями производной и дифференциала, c их использованием при исследовании функций одного переменного. Большое внимание уделено геометрическим приложениям дифференциального исчисления и его применению к решению нелинейных уравнений, интерполированию и численному дифференцированию функций. Приведены примеры и задачи физического, механического и технического содержания.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.

Содержание

Предисловие
Основные обозначения
 
1.  Производная функции
  1.1.  Вводные замечания
  1.2.  Разностное отношение
  1.3.  Понятие производной
  1.4.  Механический и геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к плоской кривой
  1.5.  Производные основных элементарных функций
  1.6.  Односторонние конечные и бесконечные производные
  1.7.  Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции
  Вопросы и задачи
 
2.  Правила дифференцирования функций
  2.1.  Дифференцирование и арифметические операции
  2.2.  Производная сложной функции
  2.3.  Производная обратной функции
  2.4.  Производная функции, заданной параметрически
  2.5.  Дифференцирование неявных функций
  2.6.  Основные правила и формулы дифференцирования функций
  Вопросы и задачи
 
3.  Дифференциал
  3.1.  Определение дифференциала и его геометрический смысл
  3.2.  Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы записи дифференциала
  3.3.  Использование дифференциала в приближенных вычислениях
  3.4.  Оценка погрешности приближенных вычислений
  Вопросы и задачи
 
4.  Производные и дифференциалы высших порядков
  4.1.  Производные высших порядков
  4.2.  Примеры интерпретации производной второго порядка
  4.3.  Формула Лейбница
  4.4.  Производные высших порядков параметрически и неявно заданных функций
  4.5.  Дифференциалы высших порядков
  4.6.  Геометрическое и механическое толкование дифференциала второго порядка
  Вопросы и задачи
 
5.  Основные теоремы дифференциального исчисления
  5.1.  Теоремы о нулях производных
  5.2.  Теорема Лагранжа и формула конечных приращений
  5.3.  Теорема Коши
  5.4.  О непрерывности производных
  Вопросы и задачи
 
6.  Раскрытие неопределенностей
  6.1.  Раскрытие неопределенности вида [0/0]
  6.2.  Неопределенность вида [/]
  6.3.  Особенности применения правила Бернулли - Лопиталя
  6.4.  Другие виды неопределенностей
  Вопросы и задачи
 
7.  Формула Тейлора
  7.1.  Линейное и квадратичное приближения функции
  7.2.  Многочлен Тейлора и формула Тейлора
  7.3.  Различные представления остаточного члена формулы Тейлора
  7.4.  Формула Маклорена
  7.5.  Вычисление пределов
  7.6.  Использование формулы Тейлора в приближенных вычислениях
  7.7.  Обобщенная теорема о среднем значении
  Вопросы и задачи
 
8.  Исследование функций
  8.1.  Условия возрастания и убывания функций
  8.2.  Экстремум функции. Необходимые условия существования экстремума
  8.3.  Достаточные условия существования экстремума функции
  8.4.  Условия выпуклости функции
  8.5.  Точки перегиба
  8.6.  Наибольшее и наименьшее значения функции в промежутке
  8.7.  Асимптоты графика функции
  8.8.  Общая схема исследования функции и построение ее графика
  8.9.  Особенности исследования функций, заданных параметрически
  Вопросы и задачи
 
9.  Геометрическиеприложениядифференциального исчисления
  9.1.  Векторная функция скалярного аргумента
  9.2.  Понятие кривой
  9.3.  Плоские кривые
  9.4.  Кривизна плоской кривой
  9.5.  Эволюта и эвольвента плоской кривой
  9.6.  Кривизна и кручение пространственной кривой
  9.7.  Примеры плоских кривых
  Вопросы и задачи
 
10. Интерполирование и численное дифференцирование
  10.1.  Табличный способ задания функции
  10.2.  Линейная интерполяция
  10.3.  Квадратичная интерполяция
  10.4.  Интерполяционный многочлен Лагранжа
  10.5.  Интерполяционный многочлен Ньютона
  10.6.  Интерполирование с кратными узлами
  10.7.  Численное дифференцирование
  10.8.  Минимизация погрешности интерполяции
  10.9.  Интерполирование сплайнами
  Вопросы и задачи
 
11. Решение нелинейных уравнений
  11.1.  Постановка задачи
  11.2.  Нули многочленов
  11.3.  Точные решения алгебраических уравнений
  11.4.  Отделение корней алгебраических уравнений
  11.5.  Численные методы уточнения значения корня
  11.6.  Метод простой итерации
  11.7.  Метод Ньютона
  11.8.  Комбинированные методы
  11.9.  Метод Чебышева
  Вопросы и задачи
 
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель
Содержание

 

Перейти к списку | Аннотация | Содержание

Аналитическая геометрияАннотация

Книга является третьим выпуском учебного комплекса «Математика в техническом университете», состоящего из двадцати выпусков, и знакомит читателя с основными понятиями векторной алгебры и ее приложений, теории матриц и определителей, систем линейных алгебраических уравнений, кривых и поверхностей второго порядка. Материал изложен в объеме, необходимом на начальном этапе подготовки студента технического университета.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.

Содержание

Предисловие
Основные обозначения
 
1.  Линейные операции над векторами
  1.1.  Векторные и скалярные величины
  1.2.  Типы векторов и их взаимное расположение
  1.3.  Линейные операции и их свойства
  1.4.  Ортогональная проекция
  1.5.  Линейная зависимость и независимость векторов
  1.6.  Базис
  1.7.  Вычисления в координатах
  Вопросы и задачи
 
2.  Произведения векторов
  2.1.  Определители второго и третьего порядков
  2.2.  Скалярное произведение
  2.3.  Векторное произведение
  2.4.  Смешанное произведение
  2.5.  Приложения произведений векторов
  2.6.  Двойное векторное произведение
  Вопросы и задачи
 
3.  Системы координат
  3.1.  Декартова система координат
  3.2.  Преобразование прямоугольных координат
  3.3.  Простейшие задачи аналитической геометрии
  3.4.  Вычисление площадей и объемов
  3.5.  Кривые и поверхности
  3.6.  Полярная система координат
  3.7.  Цилиндрическая и сферическая системы координат
  Вопросы и задачи
 
4.  Прямая на плоскости
  4.1.  Алгебраические кривые первого порядка
  4.2.  Специальные виды уравнения прямой
  4.3.  Взаимное расположение двух прямых
  4.4.  Расстояние от точки до прямой
  Вопросы и задачи
 
5.  Прямая и плоскость в пространстве
  5.1.  Алгебраические поверхности первого порядка
  5.2.  Специальные виды уравнения плоскости
  5.3.  Уравнения прямой в пространстве
  5.4.  Взаимное расположение прямых и плоскостей
  5.5.  Расстояние до плоскости и до прямой
  5.6.  Пучки и связки
  Вопросы и задачи
 
6.  Матрицы и операции над ними
  6.1.  Виды матриц
  6.2.  Линейные операции над матрицами
  6.3.  Транспонирование матриц
  6.4.  Умножение матриц
  6.5.  Блочные матрицы
  6.6.  Прямая сумма матриц
  6.7.  Линейная зависимость строк и столбцов
  6.8.  Элементарные преобразования матриц
  Вопросы и задачи
 
7.  Определители
  7.1.  Определители n-го порядка
  7.2.  Свойства определителей
  7.3.  Методы вычисления определителей
  Вопросы и задачи
 
8.  Обратная матрица и ранг матрицы
  8.1.  Обратная матрица и ее свойства
  8.2.  Вычисление обратной матрицы
  8.3.  Решение матричных уравнений
  8.4.  Ранг матрицы
  8.5.  Теорема о базисном миноре
  8.6.  Вычисление ранга матрицы
  Вопросы и задачи
 
9.  Системы линейных алгебраических уравнений
  9.1.  Основные определения
  9.2.  Формы записи СЛАУ
  9.3.  Критерий совместности
  9.4.  Формулы Крамера
  9.5.  Однородные системы
  9.6.  Неоднородные системы
  9.7.  Как решать СЛАУ ?
  9.8.  СЛАУ с комплексными коэффициентами
  Вопросы и задачи
 
10. Численные методы решения СЛАУ
  10.1.  Проблемы, связанные с вычислениями
  10.2.  Прямые и итерационные методы решения СЛАУ
  10.3.  Метод Гаусса
  10.4.  Особенности метода Гаусса
  10.5.  Метод прогонки
  10.6.  Мультипликативные разложения матриц
  Вопросы и задачи
 
11. Кривые второго порядка
  11.1.  Эллипс
  11.2.  Гипербола
  11.3.  Парабола
  11.4.  Неполные уравнения кривой второго порядка
  11.5.  Полярные уравнения
  Вопросы и задачи
 
12. Поверхности второго порядка
  12.1.  Поверхность вращения и преобразование сжатия
  12.2.  Эллипсоиды
  12.3.  Гиперболоиды
  12.4.  Эллиптические параболоиды
  12.5.  Конусы
  12.6.  Цилиндрические поверхности
  12.7.  Метод сечений
  12.8.  Неполные уравнения поверхности второго порядка
  12.9.  Конические и линейчатые поверхности
  12.10.  Конические сечения
  Вопросы и задачи
 
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель

 

Перейти к списку | Аннотация | Содержание

Линейная алгебраАннотация

Книга является четвертым выпуском учебного комплекса «Математика в техническом университете» и содержит изложение базового курса по линейной алгебре. Дополнительно включены основные понятия тензорной алгебры и итерационные методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений. Материал изложен в объеме, необходимом для подготовки студента технического университета.
Теоретический материал изложен с применением методов линейной и матричной алгебры и иллюстрирован разбором примеров и задач. В конце каждой главы приведены вопросы и задачи для самостоятельного решения.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.

Содержание

Предисловие
Основные обозначения
Введение
 
1.  Линейные пространства
  1.1.  Определение линейного пространства
  1.2.  Свойства линейного пространства
  1.3.  Линейная зависимость
  1.4.  Свойства систем векторов
  1.5.  Базис линейного пространства
  1.6.  Линейные операции в координатной и матричной форме
  1.7.  Размерность линейного пространства
  1.8.  Преобразование координат вектора при замене базиса
  Д.1.1.  Линейное пространство над полем P
  Вопросы и задачи
 
2.  Линейные подпространства
  2.1.  Определение и примеры
  2.2.  Пересечение и сумма линейных подпространств
  2.3.  Прямая сумма линейных подпространств
  2.4.  Размерность линейных подпространств
  2.5.  Ранг системы векторов
  2.6.  Линейные оболочки и системы уравнений
  2.7.  Прямое дополнение
  Вопросы и задачи
 
3.  Евклидовы пространства
  3.1.  Определение евклидова пространства
  3.2.  Неравенство Коши - Буняковского
  3.3.  Линейные нормированные пространства
  3.4.  Угол между векторами
  3.5.  Ортогональные системы векторов
  3.6.  Ортогональные и ортонормированные базисы
  3.7.  Процесс ортогонализации Грама - Шмидта
  3.8.  Вычисления в ортонормированном базисе
  3.9.  Ортогональное дополнение
  Д.3.1.  Нормы матриц
  Д.3.2.  Метод наименьших квадратов
  Д.3.3.  Псевдорешения и псевдообратная матрица
  Вопросы и задачи
 
4.  Линейные операторы
  4.1.  Определение и примеры линейных операторов
  4.2.  Изоморфизм линейных пространств
  4.3.  Матрица линейного оператора
  4.4.  Преобразование матрицы линейного оператора
  4.5.  Произведение линейных операторов
  4.6.  Линейные пространства линейных операторов
  Вопросы и задачи
 
5.  Собственные векторы и собственные значения
  5.1.  Характеристическое уравнение матрицы
  5.2.  Характеристическое уравнение линейного оператора
  5.3.  Собственные векторы и собственные значения
  5.4.  Вычисление собственных значений и собственных векторов
  5.5.  Свойства собственных векторов
  Д.5.1.  Жорданова нормальная форма
  Вопросы и задачи
 
6.  Самосопряженные операторы
  6.1.  Сопряженный оператор
  6.2.  Самосопряженные операторы и их матрицы
  6.3.  Собственные векторы самосопряженного оператора
  Д.6.1.  Инвариантные подпространства самосопряженного оператора
  Вопросы и задачи
 
7.  Ортогональные матрицы и операторы
  7.1.  Ортогональные матрицы и их свойства
  7.2.  Ортогональные операторы
  7.3.  Матрицы перехода в евклидовом пространстве
  7.4.  Приведение симметрической матрицы к диагональному виду
  Вопросы и задачи
 
8.  Квадратичные формы
  8.1.  Определение квадратичной формы
  8.2.  Преобразование квадратичных форм
  8.3.  Квадратичные формы канонического вида
  8.4.  Ортогональные преобразования квадратичных форм
  8.5.  Закон инерции
  8.6.  Критерий Сильвестра
  Д.8.1.  Билинейные формы
  Вопросы и задачи
 
9.  Кривые и поверхности второго порядка
  9.1.  Поверхности второго порядка
  9.2.  Изменение системы координат
  9.3.  Упрощение уравнения поверхности второго порядка
  9.4.  Примеры
  9.5.  Классификация кривых второго порядка
  9.6.  Классификация поверхностей второго порядка в пространстве
  Вопросы и задачи
 
10. Элементы тензорной алгебры
  10.1.  Сопряженное пространство
  10.2.  Полилинейные формы
  10.3.  Тензоры
  10.4.  Операции c тензорами
  Вопросы и задачи
 
11. Итерационные методы
  11.1.  Обусловленность квадратных матриц
  11.2.  QR-разложение. Сингулярное разложение
  11.3.  Описание итерационных алгоритмов
  11.4.  Сходимость итерационных методов
  11.5.  Скорость сходимости стационарных итерационных методов
  Вопросы и задачи
 
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель

 

Перейти к списку | Аннотация | Содержание

Дифференциальное исчисление функций многих переменныхАннотация

В пятом выпуске подробно рассмотрены основополагающие понятия предела и непрерывности функций многих переменных, свойства дифференцируемых функций, вопросы поиска абсолютного и условного экстремумов функций многих переменных. Отражена связь дифференциального исчисления функций многих переменных с дифференциальной геометрией. Рассмотрены методы решения систем нелинейных уравнений.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям и аспирантам.

Содержание

Предисловие
Основные обозначения
Введение
 
1.  Функции многих переменных как отображения
  1.1.  Открытые и замкнутые множества
  1.2.  Функции многих переменных
  1.3.  Предел функции многих переменных
  1.4.  Непрерывность функции многих переменных
  1.5.  Линии и поверхности разрыва
  1.6.  Непрерывность по части переменных
  1.7.  Свойства функций многих переменных, непрерывных на компактах
  Вопросы и задачи
 
2.  Дифференцируемые функции многих переменных
  2.1.  Частные производные
  2.2.  Геометрическая интерпретация частных производных
  2.3.  Дифференцируемость функций многих переменных
  2.4.  Необходимые условия дифференцируемости
  2.5.  Достаточное условие дифференцируемости
  2.6.  Дифференцируемость сложной функции
  2.7.  Дифференциал функции многих переменных
  Вопросы и задачи
 
3.  Производные и дифференциалы высших порядков
  3.1.  Частные производные второго порядка
  3.2.  Частные производные высших порядков
  3.3.  Дифференциалы высших порядков
  3.4.  Формула Тейлора
  3.5.  Дифференциалы в приближенных вычислениях
  Вопросы и задачи
 
4.  Неявные функции
  4.1.  Случай уравнения с двумя неизвестными
  4.2.  Общий случай
  4.3.  Обратная функция
  Вопросы и задачи
 
5.  Геометрические приложения
  5.1.  Производная по направлению
  5.2.  Градиент
  5.3.  Касательная плоскость и нормаль
  5.4.  Касательная и нормаль кривой на плоскости
  Вопросы и задачи
 
6.  Экстремум функции многих переменных
  6.1.  Необходимое условие экстремума
  6.2.  Достаточное условие экстремума
  6.3.  Достаточные условия экстремума функции двух переменных
  6.4.  Исследование функций на экстремум
  Вопросы и задачи
 
7.  Условный экстремум
  7.1.  Общая постановка задачи
  7.2.  Необходимое условие условного экстремума
  7.3.  Достаточные условия условного экстремума
  7.4.  Нахождение наибольшего и наименьшего значений
  Вопросы и задачи
 
8.  Геометрия поверхностей
  8.1.  Гладкая поверхность
  8.2.  Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  8.3.  Первая квадратичная форма поверхности
  8.4.  Вторая квадратичная форма поверхности
  8.5.  Классификация точек поверхности
  8.6.  Нормальная кривизна поверхности
  8.7.  Главные направления и главные кривизны поверхности
  Д.8.1.  Внутренняя и внешняя геометрии поверхности
  Вопросы и задачи
 
9.  Численные методы решения систем нелинейных уравнений
  9.1.  Итерационные методы решения
  9.2.  Метод Ньютона
  9.3.  Проблема глобальной сходимости
  Вопросы и задачи
 
10. Интерполирование функций многих переменных
  10.1.  Интерполяционные сплайны первой степени
  10.2.  Билинейные интерполяционные сплайны
  10.3.  Кубические сплайны одного переменного
  10.4.  Бикубические сплайны двух переменных
  10.5.  Приближение кривых и поверхностей
  Вопросы и задачи
 
11. Дифференциальное исчисление на многообразиях
  11.1.  Определение гладкого многообразия
  11.2.  Примеры многообразий
  11.3.  Гладкие отображения многообразий
  11.4.  Касательные векторы
  11.5.  Касательное расслоение и дифференциал
  11.6.  Векторные поля на многообразиях
  11.7.  Фазовый поток векторного поля
  11.8.  Алгебра Ли векторных полей
  11.9.  Распределения и теорема Фробениуса
  Д.11.1.  Системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных
  Д.11.2.  Некоторые приложения теории векторных полей и распределений
  Вопросы и задачи
 
Список рекомендуемой литературы
Предметный указатель