Современные исследования кафедры высшая математика

В настоящее время исследования проводятся с целью получения фундаментальных научных результатов мирового уровня одновременно в нескольких классических областях математики, а также происходит формирование и развитие новых областей математики и их приложений.

Работа  проводиться одновременно в нескольких направлениях под руководством ведущих специалистов в соответствующих областях, докторов наук, представителей ведущих научных школ. В каждом направлении  решаться целый круг задач. Так например:

1. Спектральная теория сигналов на основе атомарных и R-функций; теория ортогональных рядов, построенных на основе атомарных функций; атомарные и R-функции в теории вероятностей и случайных процессов; новый класс двумерных WA-систем функций Кравченко-Рвачева в цифровой обработке сигналов и изображений; алгоритмы и методы для использования атомарных и R-функций в задачах цифровой обработки сигналов и изображений, краевых задач математической физики, теории вероятностей и случайных процессов, квантовой механики и электродинамики; программы ЭВМ для расчета необходимых параметров физических моделей; математическое обеспечение на основе программ ЭВМ.
2. Усложнённые равновесия для игровых задач, подход к разрешению проблемы единственности решения игровых задач, два сильных равновесия для игровых задач, расширенная система взаимно связанных конфликтных равновесий, конфликтно устойчивые Парето-подобные равновесия.
3. Использование особых экстремалей для получения новых уравнений движения и неизвестных констант, методы вывода уравнений экстремальной динамики и универсальные уравнения свободного движения, теория вывода дифференциальных уравнений произвольных процессов, методы поиска дифференциальных уравнений произвольных динамических процессов, принцип движения без инерциальных перегрузок с остановкой «внутреннего» времени.
4. Изучение спектральных инвариантов преобразований и их места в динамике. Развитие методов определения статистических свойств динамических систем; динамических свойств преобразований; алгебраических свойств преобразований; спектральной функции кратности для естественных факторов декартовых произведений перемешивающих преобразований, косых произведений динамических систем, хорошо аппроксимированных преобразований; топологического статуса различных динамических свойств. Изучение спектральных инвариантов типичных групповых действий. Исследования подпространств с тривиализующимися типичными динамическими системами. Модели пространств динамических систем, действующих на рациональных пространствах Урысона путем выбора удобной меры и пространств динамических систем, действующих на  расширениях Канторовых множеств. Изучение преобразований на спектре динамических систем. Классификация инвариантных мер: вокруг гипотезы Фюрстенберга.
5. Исследование возмущения спектра дифференциальных  операторов Штурма-Лиувилля, Шредингера и их векторных аналогов в зависимости от изменения потенциала. Исследование зависимости колмогоровских поперечников компактов от вложения данного метрического пространства в линейное нормированное пространство, изучение операторов Рака для групп движений евклидова пространства и других классов локально-компактных групп, изучение представлений групп, связанных с математическим анализом и математической физикой (групп гладких преобразований, групп функций со значениями в данной группе Ли).
6. Краевые задачи для эллиптических операторов с переменными коэффициентами в ограниченных и неограниченных областях, обобщенный критерий Вейля и принцип Бирмана локализации спектра, энергетический метод оценки резольвенты вблизи непрерывного спектра, энергетический метод доказательства непрерывности спектра. Критерий  Реллиха дискретности спектра, методы теории весовых пространств С.Л. Соболева, гильбертов метод единственности получения точной управляемости в задачах граничного управления.
7. Модель обтекания профиля крыла в системе крыла дозвуковым и трансзвуковым потоком и значения аэродинамических коэффициентов, решение обратных задач аэродинамики для определения профиля по заданным распределениям нагрузки или скорости потока по его поверхности, расчет пограничного слоя в условиях ламинарно-турбулентного обтекания с вычислением точки перехода, модель обтекания профилей с усложненными свойствами, проницаемости поверхности, расчет аэродинамических характеристик крыла при внесении конструктивных изменений и вариациях положения элементов компоновки, оптимизация профилировки крыла.
8. Модель геотермальной системы как с резкой поверхностью фазового перехода, так и с зоной смеси при переходе пар-жидкость (так называемые «тепловые трубы»). Исследование устойчивости поверхности/зоны фазового перехода. Модель артерии, как нелинейной упругой осесимметричной мембраны, наполненной жидкостью. Исследованное нелинейных локализованных гидро-упругих волн в рамках данной модели, исследование устойчивости аневризмы (стоячей локализованной волны).
9. Модель взаимодействия процессов восприятия элементарных внешних стимулов, модель процесса восприятия музыкальной мелодии, программы ЭВМ, реализующие эти модели, основы теории Г-последовательностей, математическое определение сознания и подсознания (сознательного и бессознательного), обобщение модели динамики внимания в процессе восприятия элементарного внешнего стимула на произвольные психические процессы (воспоминания, воображения, мышления и пр.), новая физиологическая интерпретация внимания. Поисковая работа по приложению конвергентного уравнения диффузии для построения моделей других систем (ориентировочно: урбанизация, формирование монополий, рост муравейников, фазовые переходы 1-го рода, самосборка наноструктур).
10. Оценка показателей надежности, ресурса и остаточного ресурса  сложных технических систем. Оценка и прогноз характеристик прочности  изделий. Модели для оценки прочности изделий по результатам статистических испытаний на прочность их фрагментов. Оптимальные стратегии управления процессами замен и восстановления оборудования в сложных информационно – вычислительных комплексах большой мощности, обеспечивающие заданные гарантированные характеристики надежности и эффективности функционирования таких систем. Оптимальное распределение вычислительных мощностей в таких системах.
11. Уравнения математической физики, функциональный анализ, качественная и спектральная теория дифференциальных уравнений, спектральная теория операторов, абстрактная теория приближений, теория групп и теория представлений, эргодическая теория и динамические системы, теория чисел, кодирование, дескриптивная теория множеств,  топология, теория вероятностей и случайных процессов. Марковские цепи, теория надежности, цифровая обработка сигналов и изображений,  статистическая теория распознавания образов, квантовая теория, аэрокосмические технологии, транспортные системы, использование тепловой энергии геотермальных резервуаров, диагностика и лечение сосудистых заболеваний и дальнейшее изучение тока крови в сосудах, теория ресурсов внимания.

Области применения научной продукции: математика, физика, техника, психология, физиология, медицина, экономика, военное дело.

Результаты НИР  востребованы следующими организациями:

ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, НТЦ УП РАН, ФГУП НИИ «Прецизионного приборостроения», ОАО НПК НИИ Дальней радиосвязи, ОАО «Концерн радиостроения «Вега»», Радиочастотный центр Южного Федерального округа, институт психологии РАН, НИИ высшей нервной деятельности им. И.П. Павлова.

Результаты НИР  внедряются в образовательный процесс в виде курсов лекций в МГТУ им. Н.Э. Баумана и МГУ им. М.В. Ломоносова студентам, обучающимся по соответствующим специальностям. В частности, могут быть включены в специальные курсы: «Атомарные функции, вейвлеты и фракталы в физических приложениях»,  «Теория конфликтов и дифференциальные игры», «Обобщенное оптимальное, стохастическое и конфликтное равновесия», «Уравнения математической физики», «Одномерный оператор Шредингера», «Основы математической теории надежности», «Испытания технических систем», «Теория оптимальных статистических решений», «Обобщенные функции и линейные операторы». Также в процессе выполнения НИР могут быть созданы новые специальные курсы по тематике НИР.